Теоремы о пределе суммы, разности и произведении сходящихся последовательностей.

$\lim_{n \to \infty} a_{n}=a, \lim_{n \to \infty} b_{n}=b \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} + b_{n} = a+b$

По определению: $$\begin{cases} \forall{\epsilon > 0}~~ \exists{N_{1}}~~ \forall{n>N_{1}}~~ |a_{n} - a| < \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon_{1} \\ \forall{\epsilon > 0}~~ \exists{N_{2}}~~ \forall{n>N_{2}}~~ |b_{n} - b| < \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon_{2} \\ \end{cases}$$ Сложим уравнения, получим: $|(a_{n}+b_{n}) - (a+b)| < \epsilon \square$

$\lim_{n \to \infty} a_{n}=a, \lim_{n \to \infty} b_{n}=b \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b$

Пусть $\forall{n \in \mathbb{N}}~~ |a_{n}| \leq M$. По определению: $$\begin{cases} \forall{\epsilon > 0}~~ \exists{N_{1}}~~ \forall{n>N_{1}}~~ |a_{n} - a| < \dfrac{\epsilon}{2(|b|+1)} = \epsilon_{1} \\ \forall{\epsilon > 0}~~ \exists{N_{2}}~~ \forall{n>N_{2}}~~ |b_{n} - b| < \dfrac{\epsilon}{2M} = \epsilon_{2} \\ \end{cases}$$ Тогда: $|a_{n}b_{n} - ab| = |a_{n}b_{n} - a_{n}b - ab + a_{n}b| \leq |a_{n}||b_{n}-b|+|b||a_{n}-a| < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon~~~ \square$